Фамилия Каури — редкий случай, когда фамилия русского человека может быть заимствована из языка, не имеющего к славянским корням никакого отношения. В отличие от привычных Кузнецовых или Ивановых, эта фамилия почти наверняка не имеет славянского происхождения, и её носители в России — это, скорее всего, потомки переселенцев, купцов или моряков, связанных с далёкими странами.

Самое прямое и очевидное объяснение фамилии — происхождение от названия хвойного дерева каури (Agathis australis), которое растёт в Новой Зеландии и на островах Тихого океана. В XIX веке смола этого дерева (копал каури) была ценным сырьём для производства высококачественных лаков и линолеума. В Россию её активно ввозили, и фамилию Каури вполне мог получить либо купец, торговавший этим товаром, либо мастер-лакировщик, специализировавшийся на работе с этой дорогой смолой. В этом случае фамилия — профессиональное прозвище, закрепившееся за родом занятий.

Вторая, менее экзотическая, версия — эстонские или финские корни. В эстонском языке слово «kaur» означает «выдра», а в финском «kaura» — «овёс». Если предок носителя фамилии был выходцем из Прибалтики или Финляндии, то Каури могло быть прозвищем, данным по внешности (ловкий, как выдра) или по роду деятельности (крестьянин, сеявший овёс). Фонетически фамилия легко вписалась бы в русскую среду, так как оканчивается на -и, что характерно для фамилий финно-угорского происхождения.

Словообразовательная модель здесь нестандартна. В фамилии нет типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Она представляет собой чистую основу, что говорит о её позднем закреплении или иноязычном происхождении. В русском языке такие фамилии нередко оставались без изменений, если их основа заканчивалась на гласную (сравните: Дюма, Гюго, Каури).

Географически фамилия Каури в России встречается крайне редко, в основном в крупных портовых городах (Санкт-Петербург, Владивосток) или в регионах, граничащих с Эстонией и Финляндией. Второй вариант подтверждается тем, что в Эстонии фамилия Каури (в разных написаниях) существует и является более распространённой, чем в России.

Таким образом, с высокой вероятностью фамилия Каури — либо профессиональное прозвище, связанное с торговлей колониальными товарами, либо прибалтийско-финское прозвище, адаптированное русским языком. Обе версии указывают на то, что предок носителя этой фамилии был человеком необычной для своего времени профессии или происходил из неславянской среды.