Фамилия Харькавская — женская форма фамилии Харькавский, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ская указывает на типичную польско-белорусско-украинскую модель образования: такие фамилии получали по названию местности. Харькавский — значит «тот, кто родом из Харькова или Харьковки». Всё логично, если бы не одно «но»: форма Харькавская с буквой «а» во втором слоге вместо ожидаемого «о» (Харьковская) — редкое фонетическое явление. Скорее всего, это не опечатка, а следствие местного говора: в некоторых украинских и южнорусских диалектах безударное «о» произносили как «а» и закрепляли на письме. Так что перед нами не вариант фамилии Харьковская, а её самостоятельная диалектная ветвь.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с прозвищем Харькаво (или Харькавый). В украинском языке «харькати» означает «кашлять, хрипеть»; прозвище могли дать человеку с хриплым голосом или болезненным кашлем. Тогда фамилия Харькавский образована от этого прозвища через притяжательный суффикс -ев/-ав, а -ский добавился позже по аналогии с дворянскими фамилиями. Но такая цепочка менее типична: обычно прозвища дают основу на -ов/-ин, а не на -ский.

География фамилии подсказывает, что её носители — преимущественно с запада Украины и из Беларуси. Встречаемость низкая, что подтверждает: перед нами не массовая фамилия от большого города, а локальный вариант, закрепившийся в одном-двух сёлах или местечках. Сословно предки Харькавских, скорее всего, были крестьянами или мещанами — дворяне с такой фамилией не фиксируются в родословных книгах.

Итог простой: Харькавская — это «харьковская», но произнесённая по-народному, с аканьем. Если ваши предки писали фамилию именно так, они, вероятно, жили в среде, где «о» и «а» в безударной позиции не различали, и это закрепилось в документе.