Фамилия Кижук звучит нехарактерно для центральной России, и это первая подсказка. Её основа — короткая, часто экспрессивная — и суффикс -ук выдают в ней типичную украинскую или белорусскую фамилию. Такая модель образования (основа + -ук/-юк) в этих землях была одной из главных: она указывала на сына или ученика человека, названного в корне. Иными словами, Кижук — это «сын Кижа» или «человек, имеющий отношение к Кижу».

Сам корень «киж» — тёмный и многозначный, и это как раз тот случай, когда ономасты предлагают несколько версий, и ни одна не отпадает полностью. Самая прямая: в украинских и южнорусских говорах «киж» или «кижа» — это деревянная колотушка, молоток, которым глушат рыбу или забивают сваи. Прозвище Киж могли дать плотнику, бондарю или рыболову — человеку, чья работа была связана с этим инструментом. Версия бытовая и крепкая.

Другая гипотеза ведёт к диалектному глаголу «кижать» — кричать, визжать, пищать (обычно о животных или птицах). В таком случае прозвище Киж мог получить крикливый, беспокойный человек или, наоборот, обладатель резкого, высокого голоса. В ономастике такие «звукоподражательные» фамилии не редкость.

Редкая, но возможная версия — связь с личным именем Кир (сокращение от Кирилл) через форму Киж, где произошло смягчение «р» в «ж» под влиянием живой речи. Тогда Кижук — «сын Кирилла». Однако эта версия слабее прозвищных, так как для уменьшительных форм от Кирилла были более ходовые варианты: Кирюша, Кирюха, Кирьян.

Географически фамилия Кижук распространена на западе Украины (Волынь, Ровенская область) и в прилегающих районах Беларуси. В России встречается редко, преимущественно среди потомков переселенцев с этих территорий. Социального статуса фамилия не несёт: её носили и крестьяне, и казаки, и мещане — суффикс -ук в XVI-XVIII веках был нейтральным и массовым.

Таким образом, ваш предок Кижук с высокой вероятностью был мастеровым человеком с прозвищем Киж — плотником, бондарем или рыбаком. Либо, что чуть реже, обладателем громкого голоса. Фамилия сохранила эту бытовую, живую черту, не превратившись в отвлечённое родовое имя.