Фамилия Клопатовская — редкая, и её написание почти наверняка содержит опечатку. Вероятнее всего, правильная форма — Клопотовская, а в основе лежит географическое название. Разберёмся по порядку.

Суффикс -ск- и окончание -ая указывают на типичную польскую или западнорусскую дворянскую модель. Такие фамилии образовывали от названия поместья, села или урочища. Предок, получивший фамилию Клопотовский, владел землёй или жил в местечке Клопотово (или Клопотов). Посёлков с таким именем несколько: одно известно на Волыни (Украина), другое — в Польше (Клопотув). Таким образом, фамилия — топонимическая, указывающая на родовое гнездо.

Что касается корня «клопот-», то в польском языке слово kłopot означает «хлопоты, забота, беспокойство». В русских говорах «клопот» — то же самое, плюс иногда «суета» или «шум». Название села Клопотово могло возникнуть как прозвищное: либо основатель был человеком суетливым и хлопотным, либо, что вероятнее, название закрепилось за местом, где постоянно что-то случалось, было неспокойно. Прямой связи с насекомым «клоп» здесь нет, хотя народная этимология могла её подтянуть.

Вариант «Клопатоваская» с двумя «а» в середине и двумя «с» на конце — явная орфографическая ошибка, возникшая, скорее всего, при записи фамилии в советских документах (паспортизация 1930-х годов часто искажала редкие фамилии). Если вы встретили именно такое написание, стоит проверить архивные записи: истинная фамилия предков могла быть Клопотовский, Клопотовская или Клопотова (без суффикса -ск-). В любом случае, корень один — «клопот».

Социальный контекст: носители фамилии Клопотовские, как правило, принадлежали к мелкой шляхте (в Польше и Западной Руси) или к духовному сословию (семинаристам часто давали фамилии по названиям сёл). Крестьяне такую фамилию получить почти не могли — это маркер владельческого или служилого происхождения.