Фамилия Клякая — редкий пример, где географический разбор даёт больше, чем корневой. Она образована по модели, характерной для украинских, белорусских и южнорусских фамилий: основа плюс суффикс -ая, который в женском роде часто закреплялся как неизменяемая форма прозвища. В отличие от «классических» русских фамилий на -ов/-ин, где -ая — это окончание прилагательного (например, Клякой → Клякая), здесь окончание могло стать частью фамилии ещё в мужском варианте, если прозвище звучало как «Клякай» или «Клякый». Но чаще всего Клякая — это именно женская форма, то есть жена или вдова человека по прозвищу Кляк.

Сам корень «кляк-» скорее всего связан со словом «клякса» — пятно, капля чернил. В русских говорах «клякнуть» означало «запачкать», «испачкать чернилами». Прозвище Кляка могли дать писарю, учителю, дьячку или любому человеку, чья работа оставляла чернильные следы на пальцах и одежде. Не исключён и переносный смысл: «клякса» в диалектах — о неуклюжем, неловком человеке, который всё пачкает. В этом случае прозвище носило ироничный, но не обязательно обидный оттенок — многие фамилии образованы от бытовых наблюдений за характером.

Встречается фамилия в основном на западе России и в восточной Беларуси — в Смоленской, Брянской, Могилёвской областях. Это указывает на возможную связь с местными говорами, где слово «кляк» могло иметь дополнительные значения. Например, в псковских и тверских говорах «кляка» — это «комок», «сгусток», что тоже могло стать прозвищем плотного, коренастого человека.

Менее вероятна, но допустима версия, что основа восходит к глаголу «клякать» (в диалектах — «кричать, кудахтать»). Тогда прозвище Кляка дали бы крикливому, шумному человеку. Однако связь с «кляксой» и чернилами остаётся основной: она проще, логичнее и подтверждается типичными для писцов фамилиями вроде Чернилин, Писарев, Бумагин.

Сословная принадлежность носителей фамилии не фиксируется в массовых данных, но, судя по прозвищной основе, предки Кляких могли быть мелкими служащими, церковнослужителями или грамотными крестьянами — теми, кто имел дело с письмом. Дворянских родов с такой фамилией не известно.