Фамилия Клюга — один из тех случаев, когда написание подсказывает происхождение лучше, чем звучание. В ней нет типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский), а окончание -а указывает на то, что перед нами, скорее всего, не искусственная книжная форма, а застывшее прозвище или имя в именительном падеже. Такие фамилии характерны для западнорусских земель и Украины, где прозвища часто переходили в фамилии без изменений.

Самый прямой путь к смыслу — польский язык. По-польски «kłóga» (читается «клуга») означает «колода», «чурбан» или «коряга». В переносном смысле так могли назвать неповоротливого, грузного человека или, наоборот, упрямца, которого не сдвинуть с места. В говорах западной Беларуси и Украины слово «клюга» бытовало в значении «палка с загнутым концом», «клюка» — то есть посох пастуха или нищего. Отсюда возможна и вторая версия: прозвище могли дать человеку, который ходил с клюкой (хромой или старый), либо пастуху.

Менее вероятна, но допустима связь с глаголом «клюкать» (в диалектах — «хитрить», «лукавить»). В этом случае Клюга — тот, кто «клюкает», то есть плут или хитрец. Однако эта версия слабее, так как глагол редок, а прозвища по физическим признакам встречаются чаще, чем по отвлечённым качествам.

Фамилия Клюга нечастотна. Её можно встретить на востоке Польши, в Западной Беларуси и на Волыни. В России она редка и, скорее всего, попала туда с переселенцами из этих регионов. С точки зрения словообразования, это типичная «прозвищная» фамилия без патронимического суффикса, что указывает на её относительно позднее закрепление (XVII–XVIII века) в среде крестьян и мещан, где фамилии часто просто фиксировали уличное прозвище.

Однокоренные фамилии — Клюкин, Клюка, Ключко. Но Клюга стоит особняком: она сохранила архаичное окончание и не обросла суффиксами, что делает её более прозрачной для этимолога, но менее понятной для современного носителя. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходили из западнорусских или польских крестьян, а прозвище получили либо за медлительность, либо за привычку опираться на клюку.