Фамилия Клюшникова — это женская форма фамилии Клюшников, и её происхождение напрямую связано с мужским прозвищем Клюшник. В основе этого прозвища лежит слово «клюша». Тут сразу две возможные, но совершенно разные истории.

Первая версия — бытовая. «Клюша» в старых говорах означала клюку, то есть палку или трость с загнутым концом. Прозвище Клюшник могли дать человеку сутулому, ходящему сгорбившись, — как будто он постоянно опирается на воображаемую клюку. Такие прозвища по внешним признакам были очень распространены в русской деревне.

Вторая версия — профессиональная и более редкая. «Клюша» — это ещё и старинное название токарного долота, которым обтачивали чугунные пушки. Если следовать этой логике, Клюшником называли мастера-пушечника или токаря по металлу, работавшего с таким инструментом. Эта версия правдоподобна для регионов, где было развито оружейное или литейное дело, например, на Урале или в Туле.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ник (в форме Клюшник) указывает на носителя признака или деятеля, а стандартный русский суффикс -ов присоединился к прозвищу, образовав типичную патронимическую фамилию, отвечающую на вопрос «чей?». То есть Клюшников — это сын Клюшника.

Фамилия Клюшникова (и мужская Клюшников) не относится к числу самых частых, но встречается в разных областях России. Её редкая профессиональная версия (с пушками) — та самая деталь, которая выделяет эту фамилию среди прочих «ремесленных» фамилий. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта модель разбирается в ряду прозвищ от орудий труда, что добавляет веса именно версии с долотом.