Фамилия Клыжина — женская форма, мужская — Клыжин. Она образована по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища или имени на -а, -я добавлялся суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — «Клыжин», то есть сын Клыжи). Основа здесь — «Клыж» или «Клыжа».

Что могло означать это прозвище? Самое прямое объяснение лежит на поверхности: «клыж» — диалектное слово, родственное «клык». В русских говорах «клыжом» называли человека с большими, выдающимися передними зубами, либо того, кто имел привычку скалиться, огрызаться. Прозвище давалось по яркой внешней примете — и это наиболее вероятная версия.

Менее очевидный, но возможный вариант — связь с ремеслом. В некоторых областях «клыжить» означало «гнуть, выгибать», а «клыж» мог быть инструментом для гибки дуг или полозьев. Тогда прозвище Клыж получил бы либо мастер-дугогиб, либо человек с характерной согнутой осанкой. Но эта версия слабее: она не подтверждена широкой лексикографической фиксацией, в отличие от «клыка».

С точки зрения географии, фамилия Клыжин (и Клыжина) встречается преимущественно в центральных и северных областях России — в Вологодской, Кировской, Костромской областях. Это регионы, где хорошо сохранились диалектные слова, а фамилии часто закрепляли уличные прозвища, а не книжные имена. Социальный состав носителей, судя по архивным данным XIX века, — в основном крестьяне и мещане, что типично для фамилий на -ин от прозвищ.

В отличие от фамилий на -ов (которые чаще образовывались от полных церковных имён), Клыжин — пример чисто бытового именования, без церковного подтекста. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был простым человеком, которого в деревне знали по приметной черте — возможно, по улыбке.