Фамилия Кодыш образована от прозвища, в основе которого лежит диалектное слово «кодаш». Владимир Даль в «Толковом словаре живого великорусского языка» приводит у него два значения: «товарищ» и «бочар». Первое значение указывает на личные качества человека — прозвище мог получить верный, надежный друг. Второе относит прозвище к «профессиональным» именованиям: кодашом в старину называли мастера, который выделывал бочки. Оба варианта происхождения равновероятны, и определить, какое из значений стало основой для конкретной фамилии, сегодня уже невозможно.

Менее убедительна версия, связывающая фамилию с татарским словом «кода» — «сват, сватающий», то есть отец одного из супругов по отношению к родителям другого. В этом случае прозвище указывало бы не на профессию или характер, а на родственные связи. Чередование «ы/а» в корне (Кодыш вместо Кодаш) объясняется историческими фонетическими изменениями в русском языке и не противоречит этой гипотезе, но она всё же уступает по правдоподобию славянской диалектной основе.

Сама фамилия построена по продуктивной модели с суффиксом -ыш, который в восточнославянской антропонимии часто оформлял прозвища и личные имена (ср. Малыш, Голыш, Дурныш). Таким образом, Кодыш — это прямое прозвище, которое позже закрепилось как фамилия без дополнительных патронимических суффиксов (-ов, -ин). Такие бессуффиксные фамилии встречаются реже, чем стандартные на -ов/-ев, и характерны в основном для украинской, белорусской и южнорусской традиции.

Географически фамилия Кодыш встречается преимущественно в западных и южных регионах бывшей Российской империи, что косвенно подтверждает связь с диалектным «кодаш». В центральных и северных областях России это прозвище было менее распространено. Сословная принадлежность носителей фамилии не зафиксирована в массовых источниках, но, учитывая ремесленное значение основы, можно предположить, что предки Кодышей были либо бондарями, либо крестьянами, получившими прозвище за товарищеские качества.