Фамилия Кокашинский — одна из тех, чью основу можно истолковать по-разному, и оба пути ведут к прозвищу или имени, бытовавшему в восточнославянской среде. С точки зрения словообразования это типичная фамилия на -ский, которая указывает на географическое происхождение или принадлежность к местности. Но какой именно?

Самая прямая версия — топонимическая. На карте России и Украины есть несколько населённых пунктов с похожими названиями: Кокаши, Кокашино, Кокашин. В таком случае Кокашинский — это человек, выходец из села Кокаши или Кокашина. Суффикс -ский в польской и западнорусской традиции (распространённой среди шляхты и духовенства) закреплял за человеком прозвище по месту жительства. Однако не обязательно предок был дворянином: в XIX веке такую форму часто получали крестьяне при переписи, если их записывали по деревне.

Вторая версия отталкивается от личного имени или прозвища Кокаша. В русских говорах «кока» — это крёстный отец, а также ласковое обращение к отцу или старшему (сравните: «кок» — отец в детской речи). Уменьшительная форма Кокаша могла быть прозвищем баловня, любимца или просто младшего в семье. Тогда Кокашинский — потомок человека по прозвищу Кокаша. Менее вероятно, но допустимо, что в основе лежит тюркское слово «кок» (синий, небесный) или «кока» (голубь), но для фамилии с суффиксом -ский такое заимствование маловероятно — скорее, это чисто славянская модель.

Фамилия довольно редкая. Встречается преимущественно на западе России, в Беларуси и на Украине, что косвенно подтверждает её польско-литовские корни. В дореволюционных источниках Кокашинских можно найти среди мещан и однодворцев, реже — среди мелкопоместной шляхты. Один из известных носителей — советский учёный-металлург Иван Кокашинский, что говорит о распространении фамилии в среде технической интеллигенции XX века.

Таким образом, если вы Кокашинский, ваши предки скорее всего получили фамилию по названию деревни, где жили, или по прозвищу главы семьи. В обоих случаях корень — «кок» или «кока», слово простое и тёплое, связанное с родством или домом.