Фамилия Колтагин — один из тех редких случаев, когда исходное слово почти исчезло из живого языка, а фамилия осталась. Её основа — «колтага» — в старых говорах звучала по-разному и могла означать либо неопрятного, неряшливого человека, либо, по другим источникам, тяжелую на подъем, медлительную лошадь. Скорее всего, прозвище Колтяга (Колтага) дали человеку с заметной нерасторопностью или небрежностью в быту — такие прозвища на Руси давали без злого умысла, просто как меткую примету.

Словообразовательная модель здесь прозрачная: суффикс -ин указывает на принадлежность — «чей?» — «сын Колтаги». В русской ономастике это типичная патронимическая форма, но не от крестильного имени, а от прозвища. Менее вероятна связь с тюркским «колтак» (безрукий, калека): хотя контакты с тюркскими народами в Поволжье были плотными, для фамилии Колтагин такое объяснение дало бы иной суффикс и звучание.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России — в архангельских, вологодских и костромских говорах слово «колтага» фиксируется в значении «грязнуля» или «копуша». Встречается она редко, что неудивительно: слово ушло из обихода, а фамилия осталась как археологический слой лексики XVII–XVIII веков. В писцовых книгах и переписных листах того времени можно найти крестьян и посадских людей с прозвищем Колтага, но в дворянские родословные книги эта фамилия не попала — носители её были, скорее всего, из крестьянской или ремесленной среды.

У фамилии есть вариант написания с одной «г» — Колтагин, что встречается реже, но принципиально не меняет этимологии. Если видите в документах «Колтогин» — это, вероятно, описка под влиянием акающего произношения, а не отдельная фамилия.