Фамилия Конёши — редкий случай, когда географический акцент слышен прямо в окончании. Суффикс -ых/-их (в данном случае -и) указывает на севернорусское или сибирское происхождение. В этих регионах фамилии часто закреплялись в форме родительного падежа множественного числа: «из дома Конёвых» → Конёвы, но если глава семьи носил прозвище Конёша, то домочадцев называли «Конёши», а фамилия так и осталась в этой застывшей форме. В центральной России та же основа превратилась бы в Конёшин или Конёшев.

Основа фамилии — прозвище Конёша. В говорах так могли называть человека, который любит лошадей, ухаживает за ними, или, наоборот, того, кто похож на лошадь статью, походкой, нравом. Не исключён и уменьшительно-ласкательный оттенок от слова «конь» — «конёша» как «конёк», «лошадка». В северных деревнях лошадь была кормилицей, и прозвище Конёша не несло обидного смысла, скорее указывало на профессию конюха или на особую привязанность хозяина к коням.

Встречается вариант написания с буквой Ё (Конёши). В документах XIX века букву Ё часто заменяли на Е, и фамилию могли записать как «Конеши». Но исходное ударение, скорее всего, падало на второй слог: Конёши. Если ударение на первый слог (Ко́неши), это могло быть искажением от фамилии Конецких или Конечных (от «конец» — окраина деревни), но для такого вывода нужны конкретные архивные записи.

Среди однокоренных фамилий — Конёв, Конюхов, Коняев. Но Конёши стоит особняком: это не просто «сын конюха», а указание на целый род или семейство, которое в местной речи обозначали как «Конёши». Такие фамилии редко покидали пределы одной волости, поэтому если вы встретили носителя — с большой вероятностью его корни ведут в Вологодскую, Архангельскую область или в старые сибирские селения, куда переселенцы принесли свою говорную форму.