Фамилия Контюряев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить ложные ассоциации с французским или тюркским, то наиболее вероятная основа лежит в диалектной лексике русского Севера или Поволжья. Разбираем её по косточкам.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей сын?»), а корень — прозвище Контюряй. В русских говорах слово «контюрить» означало «капризничать, упрямиться, делать что-то назло». Соответственно, Контюряем называли человека с тяжёлым, вздорным характером, который «контюрится» по любому поводу. Фамилия образована по той же модели, что и, скажем, Упрямев или Кобенев (от «кобениться»).

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с глаголом «кантюжить» (нищенствовать, побираться), который бытовал в рязанских и тамбовских говорах. В таком случае Контюряй — нищий, попрошайка. Однако фонетически «контюрить» ближе: переход «а» в «о» под ударением для северных говоров нехарактерен, а «контюрить» звучит естественнее.

Географически фамилия тяготеет к Вологодской и Архангельской областям — там диалект «контюрить» фиксируется словарями. В XIX веке Контюряевы числились в основном среди государственных крестьян, то есть лично свободных, но приписанных к казне. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено.

Спорные версии вроде происхождения от тюркского «контур» (глухой) или финского «kontio» (медведь) стоит отбросить: суффикс -яй типичен именно для русских прозвищ (сравните: Гуляй, Лентяй, Ширяй), а не для заимствований. Итак, ваш предок, скорее всего, был упрямым крестьянином с Русского Севера, которого за характер прозвали Контюряем — «вредным, капризным человеком».