Фамилия Корконишко — редкий случай, когда прозвище «застыло» в уменьшительной форме, причём с западнорусским суффишксом. Если вы её носитель, ваши предки почти наверняка происходят с территории современной Беларуси или западных областей России (Смоленщина, Псковщина), где такие формы на -ишко, -онько, -еня были обычны в XVI–XVII веках.

Основа фамилии — прозвище Корко́ня или Корко́нь. Его источник — глагол «коркать» (каркать, ворчать, браниться) или существительное «корк» (горло, глотка, а в диалектах — крикливый человек). В белорусском языке «коркаць» означает «каркать (о вороне)», а «коркун» — ворчун, брюзга. Таким образом, Корконя — это человек с резким, скрипучим голосом или тот, кто постоянно ворчит. Уменьшительный суффикс -ишко придаёт прозвищу оттенок пренебрежения или шутливой ласки: «маленький ворчун» или «сынок Коркони». Такое окончание могло означать и молодого человека — сына того самого Коркони.

Другая версия, менее вероятная, — связь с литовским karkti (каркать) или польским kark (затылок, шея). Но в контексте восточнославянских говоров первая трактовка убедительнее: фамилия образована не от географического названия, а от живого бытового прозвища.

Словообразовательная модель проста: прозвище Корконя (или Корконь) + суффикс -ишко, который в белорусской и западнорусской традиции выполнял роль «сыновнего» или уменьшительного. Позже, когда фамилии закрепились, это окончание перестало осознаваться как уменьшительное и стало просто фамильным. В документах XVII–XVIII веков такие формы встречаются в реестрах казаков, мещан и крестьян — то есть сословного барьера у фамилии не было.

Сравните с однокоренными: Коркунов (от «коркун» — ворчун), Коркин (от «корка» — корка, корочка), Коркодин (возможно, от «коркодить» — ворчать). Но Корконишко стоит особняком — редкий суффикс сразу выдает регион и эпоху. Если ваша фамилия сохранилась в таком виде, значит, предки жили достаточно замкнуто, чтобы не «обрусить» окончание до Корконев или Корконьков.