Прозвище Кость могло закрепиться за очень худым, измождённым человеком — того, у кого «кожа да кости». Но это лишь одна из версий. В основе фамилии лежит не столько прозвище, сколько народная форма крестильного имени Константин. В быту имя сокращали до Костя, Костей, а от этих ласковых или обиходных вариантов и пошла фамилия Кость. Само имя Константин греческого происхождения и означает «стойкий, постоянный» — так что в фамилии заложен скорее характер, чем внешность.

Фамилия Кость — редкий случай для русской ономастики: она образована без суффикса, напрямую от основы. Такая «нулевая» модель встречается нечасто и говорит о том, что прозвище или имя закрепилось в неизменном виде, минуя стандартные патронимические суффиксы -ов, -ев или -ин. Обычно так оформляли фамилии на Украине и в Белоруссии, поэтому географически Кость чаще встречается в западных и южных областях России, а также среди потомков выходцев из Малороссии.

В некоторых говорах «костью» называли не только худого человека, но и упрямого, несговорчивого — того, кто «костью стоит на своём». Возможна и профессиональная подоплёка: резчик по кости, костоправ или человек, торговавший костью (рогом, костяными изделиями). Но самая надёжная версия всё же связана с именем Константин: фамилия Кость — это сокращённое отчество или прозвище, которое со временем закрепилось за родом.

В документах фамилия фиксируется с XVII века, преимущественно среди казачества и крестьян южнорусских губерний. Встречаются однокоренные варианты: Костя, Костев, Костин, Костеев, — но Кость стоит особняком, сохранив исходную краткость. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, родоначальника звали Константином, и в быту он был Костей, а потом прозвище перешло в фамилию без изменений.