Фамилия Котеева — женская форма, а её основа — мужская фамилия Котеев. Чтобы понять значение, нужно разобрать мужской вариант, который образован по типичной русской модели: к основе (прозвищу или имени) добавляется суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Котея). Это сразу говорит, что предок носителя фамилии носил прозвище или некалендарное имя Котей.

Ключевой вопрос — откуда взялось имя Котей. Самый прямой путь — от слова «кот». В древнерусском языке «котей» или «коть» могло быть уменьшительно-ласкательной формой от «кот» (как «Петя» от «Пётр»). Но вряд ли предка звали в честь домашнего животного просто так. Скорее, это прозвище, данное за внешность или повадки: мягкий, ленивый, хитрый или, наоборот, — живучий и драчливый, как уличный кот. В старину такие прозвища были распространены: Кот, Кошка, Котик — все они фиксируются в документах XV–XVII веков.

Есть и менее очевидная версия, связанная с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях «кот», «котэй» означало «сильный», «могучий» или было частью личного имени (например, Котлы-Бирде — «счастье дал»). Если предки происходили из регионов, где русские соседствовали с татарами или башкирами (например, Казанская, Симбирская губернии), фамилия могла впитать этот корень. Но для фамилии Котеев эта версия менее вероятна: суффикс -ев типичен для русских фамилий, а не для тюркских, которые обычно заканчиваются на -ов без смягчения.

Что касается географии, фамилия Котеев встречается нечасто, но заметна в центральной России и Поволжье. Встречаются и однокоренные варианты — Котов (самый массовый), Котенков, Котиков. Котеев отличается от них именно суффиксом -ей, который в основе встречается реже: обычно прозвища на -ей образовывали от глаголов (Вертей, Крутей), а здесь он прирос к имени животного. Это делает фамилию немного более редкой и узко локальной — возможно, она закрепилась в одной-двух деревнях, где жил тот самый Котей.

Сословная принадлежность предков неочевидна. Фамилия не звучит как дворянская (нет типичных приставок и суффиксов -ский/-цкий) и не похожа на семинарскую (где любили латынь и греческий). Скорее всего, это крестьянская или посадская фамилия, возникшая в XV–XVII веках, когда прозвища окончательно переходили в наследственные фамилии. Если ваш предок был Котей, он мог быть крестьянином, ремесленником или стрельцом — точных данных нет, но и прозвище не давало никаких социальных привилегий, а просто описывало человека.