Фамилия Котешко звучит как уменьшительное, и это верное направление для разбора. В её основе лежит суффикс -к-о, который в украинской и белорусской ономастике образует фамилии от прозвищ или имён на -ко (Котешко, Петрушко, Стецько). В русской традиции такой суффикс встречается реже, поэтому географически фамилия тяготеет к юго-западным землям — современной Украине, Беларуси, а также югу России, куда переселенцы принесли эту модель.

Корень «Котеш-» вызывает несколько версий. Самая прямая — от слова «кот» или «котик». Но в фамилии не «Котко», а именно «Котешко», что может указывать на производное от «котеша» — ласкательного обращения к коту или к человеку, которого сравнивали с котом за мягкость, хитрость или любовь к теплу. Вторая версия ведёт к имени или прозвищу Котеш — возможно, от канонического имени Котилий (греческое «койтиле» — чаша) или от дохристианского имени Кот (в древненовгородских берестяных грамотах встречается имя Котъ). В народе такие имена давали по тотемным животным, чтобы передать ребёнку их качества.

Суффикс -еш- в фамилии — редкая деталь. Если бы фамилия образовалась напрямую от «кот», мы бы увидели «Котко». Форма «Котешко» говорит о том, что исходное прозвище звучало как «Котеш» или «Котеша». В украинских говорах «котеша» могло означать и «котёнок», и «льстец». Таким образом, предок носителя фамилии, скорее всего, получил прозвище за какой-то характерный признак — внешность или поведение, напоминающее кота.

Социальный статус первых носителей установить сложно. Фамилии на -ко в XVI–XVII веках часто встречались среди казачества, мещан и крестьян Украины и Беларуси. В реестрах Войска Запорожского немало фамилий с таким окончанием. Котешко мог быть и ремесленником, и крестьянином — прозвище не привязывало к профессии. Встречаемость фамилии в современных источниках невысокая, что говорит о её локальном бытовании.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Кот, Котов, Котенко, Кошев, Котик) показывает, что Котешко стоит особняком из-за суффикса. Если Котов — типичная русская фамилия от отчества, Котенко — украинская с патронимическим суффиксом, то Котешко — это прозвищная фамилия, где уменьшительная форма закрепилась напрямую, минуя отчество. Это делает её более древней по духу: она не говорит «чей сын», а сразу называет человека «маленьким котом» или «тем, кого ласково звали Котешей».