Фамилия Котешкова — женская форма фамилии Котешков, и её разбор стоит начать с вопроса: что или кто такой «Котеш»? В русской ономастике это слово не является распространённым личным именем или прозвищем, поэтому основная версия отталкивается от диалектных и старых значений.

Скорее всего, в основе лежит слово «кот» или его производные. Но не в прямом значении «домашнее животное»: в русских говорах «кот» могло означать «колдун, знахарь» (отсюда и «кото́вка» — ворожея). Прозвище Котеш мог получить человек, занимавшийся знахарством, или же обладатель хитроватого, «кошачьего» нрава. Суффикс -еш- в прозвище — редкий, он придаёт оттенок уменьшительности или пренебрежения, как в словах «малеш» (малыш) или «дуралеш». То есть Котеш — это тот же «кот», но с уменьшительно-ласкательным оттенком: «котёнок», «котик», а не большой зверь.

Суффикс -ков в фамилии указывает на принадлежность: Котешков — сын Котеша. Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков, когда прозвища на -еш, -ош, -ыш обрастали патронимическим суффиксом. Важно, что фамилия Котешков почти не встречается за пределами России — это локальный, преимущественно севернорусский или волжский вариант. Встречаемость её крайне низкая, что говорит о том, что прозвище Котеш было штучным, не массовым.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия: от тюркского «көтеш» — «горб», «возвышение». Но в русской среде такое прозвище могло прижиться только при прямом контакте с тюркскими народами, что для фамилии с отчётливым русским суффиксом -ков маловероятно. Скорее всего, предки Котешковых — крестьяне или посадские люди из центральной или северной России, получившие фамилию по прозвищу родоначальника, которое не вышло за пределы одной-двух волостей.