Фамилия Котежеков — редкий случай, когда географическая привязка говорит больше, чем попытки разобрать корень по словарям. Она почти наверняка ведет в Хакасию. Основа «Котежек» — это хакасское мужское имя, которое в свою очередь восходит к тюркскому «кöтежек» или «кöтежек» — уменьшительно-ласкательной форме от слова «кöтек» (щенок, детеныш). В тюркской антропонимии такие имена давали ребенку как оберег: считалось, что «собачье» имя отведет злых духов и болезни. Прямой аналог — русские прозвища вроде Щенок или Собака, которые тоже бытовали как нецерковные имена.

Фамилия образована по русской модели: к основе «Котежек» добавили патронимический суффикс -ов, что означает «сын Котежека». Формально это типичная «русская» фамилия, но по происхождению она принадлежит к пласту хакасских фамилий, которые массово возникли в XIX — начале XX века, когда коренное население получало фамилии по имени отца. Суффикс -ов здесь — результат административного оформления, а не исконно славянского прозвища.

Спорных версий немного. Можно предположить, что в основе лежит тюркское «кот» (счастье, удача) с уменьшительным суффиксом, но это менее убедительно: звуковой облик «Котежек» точнее ложится на «кöтежек», чем на абстрактное «котежек» от «кот». В казахском и киргизском есть имя Котек (Kötök) с похожим значением, но фамилия Котежеков встречается именно у хакасов, что и определяет ее корни.

Социальный контекст прост: предки носителя этой фамилии — скотоводы и охотники из Южной Сибири, жившие родами (сеоками). Фамилия не дворянская и не купеческая, а крестьянская или казачья, но в хакасской среде она ничем не хуже других. Встречается она редко, в основном в Хакасии и соседних регионах (Красноярский край, Тыва). Если вы Котежеков и ищете свои корни — стоит смотреть в сторону аал (деревень) Аскизского или Таштыпского районов, где хакасские фамилии на -ов особенно распространены.