Фамилия Крашинская — женская форма фамилии Крашинский, и её разбор стоит начать не с корня, а с модели образования. Суффикс -ск- указывает на географическое или топонимическое происхождение: такую фамилию обычно получали по названию места, откуда был родом человек. В основе фамилии лежит название населённого пункта — скорее всего, Крашино или Крашин. Такие топонимы встречаются в Беларуси, на западе России и в Польше. Например, в Брестской области есть деревня Крашино, а в Минской — Крашин. Фамилии на -ский/-ская были особенно распространены среди польской шляхты и русских дворян, но с XIX века их активно носили и крестьяне, и мещане, особенно после того, как в Российской империи ввели обязательные фамилии.

Корень «краш-» в данном случае не имеет отношения к слову «красить» (хотя это первое, что приходит в голову). В славянской ономастике он чаще всего восходит к личному имени или прозвищу. Возможная основа — древнерусское имя Краш (или Краша), которое могло быть сокращением от Красимир или Красислав. В таком случае Крашинский — это «потомок Краши». Есть и более прозаичная версия: в польском языке «krasza» означает «красотка» или «красавица», а в диалектах «крашина» — «красивое место». Но для фамилии Крашинская топонимическая версия выглядит убедительнее: предок скорее всего был выходцем из деревни Крашино, чем просто «красивым человеком».

Фамилия не относится к числу массовых — в России она встречается редко, чаще в западных областях и в Беларуси. В дореволюционных записях Крашинские фигурируют среди мелкопоместной шляхты Гродненской и Минской губерний, а также среди крестьян-однодворцев. В советское время фамилия не исчезла, но стала ещё более редкой — носители рассеялись по разным регионам.

Если ваши предки — Крашинские, стоит поискать их в метрических книгах бывших западных губерний. Фамилия даёт чёткую географическую привязку: скорее всего, они жили в небольшом селе или усадьбе с названием вроде Крашино. Искать стоит не только в России, но и в Беларуси и Польше — там эта фамилия встречается чаще.