Фамилия Кулинскии — один из редких случаев, когда написание с двумя «и» на конце не является опечаткой, а отражает старую или диалектную форму. В русской традиции фамилии на -ский обычно имеют окончание -ий (Кулинский). Форма Кулинскии встречается либо в дореволюционных записях, где сохранялось двойное «и» (Кулинскій), либо в польском написании (Kuliński), которое при передаче на русский язык могло быть записано буквально. Если вы встретили именно этот вариант, скорее всего, перед вами след польского или западнорусского происхождения фамилии.

Основа фамилии — корень «кул-». Самая вероятная версия: от польского или белорусского слова «kula» — «пуля», «шар», а также «костыль». В таком случае Кулинский — это потомок человека, которого прозвали Куля: возможно, за круглую фигуру, за хромоту (ходил с костылём) или за профессию, связанную с отливкой пуль. Суффикс -ин- в основе указывает на принадлежность: «сын Кули». А окончание -ский — типичный дворянский или шляхетский суффикс в Речи Посполитой, который часто добавляли к прозвищам, чтобы придать фамилии «благородное» звучание. Поэтому Кулинские могли быть мелкой шляхтой, осевшей на территории современной Беларуси, Польши или Западной Украины.

Менее распространённая версия — от имени Кулина, которое в старину было уменьшительной формой от имён Николай (через Микула) или Акулина. В этом случае фамилия образована по той же модели, что и Кулинин, но с польским суффиксом -ский. Однако эта версия слабее, так как форма «Кулинский» практически не встречается в великорусских говорах, где сказали бы просто «Кулин».

Географически фамилия Кулинскии (и Кулинский) чаще всего встречается в западных областях России, в Беларуси и среди потомков польской шляхты. В XIX веке носители фамилии могли быть как крестьянами, получившими фамилию от помещика, так и обедневшими дворянами. Точное сословие ваших предков можно установить только по архивным записям, но само написание с двойным «и» — хорошая зацепка: оно указывает на то, что фамилия писалась по старым правилам или по польскому образцу.