Фамилия Куток — редкий пример прозвища, которое перешло в фамилию без типичных фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский). Она так и осталась «голой» основой, что указывает на её возможное украинское, белорусское или южнорусское происхождение: в этих регионах фамилии без суффикса встречаются чаще, чем на севере и востоке.

Корень здесь — «кут». В южных и западных говорах так называли угол в доме или загнутый конец чего-либо. Прозвищем Куток могли наградить человека, который жил на краю деревни, в отдалённом месте, или того, кто занимал место в углу — например, на сходках или за столом. Есть и другая, более конкретная версия: «куток» — это закуток или небольшой загон для скота, так что прозвище могло закрепиться за пастухом или хозяином, державшим скот в отдельном загоне.

Слово «кут» встречается в топонимике: сёла Кут, Куток, Куты есть на Украине и в Белоруссии. Фамилия могла возникнуть и от названия родного места — как указание на выходца из такого поселения. В этом случае Куток — это не прозвище, а прозвание по месту жительства, которое со временем закрепилось за родом.

В русском языке есть однокоренные фамилии: Кутов, Кутовой, Кутин. Но Куток стоит особняком: она короче, «режет слух» и потому лучше сохраняет связь с исходным словом. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из мест, где говорили на «кут» вместо «угол» — из чернозёмных областей России, украинского Левобережья или восточной Беларуси.