Фамилия Кутак — редкий случай, когда основа слова вызывает устойчивые бытовые ассоциации, но на деле имеет совсем другую природу. В русском языке слово «кутак» в обсценной лексике означает мужской половой орган, однако фамилия к этому, скорее всего, не имеет никакого отношения. Если бы прозвище давали по такому признаку, оно звучало бы иначе и вряд ли закрепилось бы в документах. Вероятнее всего, корень здесь тюркский.

В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) «кутак» или «кут» — понятие, связанное с удачей, счастьем, благодатью. «Кутак» может означать «счастливчик», «обладатель удачи» или быть производным от имени Кутуш (Кутук) — уменьшительной формы от имени с корнем «кут». В Поволжье и на Урале такие имена давали с пожеланием ребёнку счастливой судьбы. Таким образом, фамилия Кутак могла возникнуть как прозвище или некалендарное имя, которое потом закрепилось за потомками.

Модель образования фамилии нетипична для русской ономастики. В ней нет суффиксов -ов, -ин или -ский, которые обычно присоединяются к основе. Фамилия Кутак — это чистая основа, без патронимического оформления. Такая форма характерна для фамилий тюркского происхождения, которые вошли в русский обиход без переделки: Кутак, Чувак, Байбак. Географически фамилия чаще всего встречается у татар, башкир и у русских, живущих в смешанных регионах — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях.

Вторая, менее вероятная версия — связь с диалектным русским словом «кутак» — «петух». В некоторых южнорусских говорах так называли драчливого или крикливого человека. Но эта версия слабая: слово «кутак» в значении «петух» локально и не дало массовых фамилий, в отличие от тюркского антропонима.

В сословном отношении предки Кутаков могли быть как крестьянами, так и служилыми татарами, которые получали поместья и записывались в русские документы с сохранением родового имени. Точных данных о дворянском происхождении этой фамилии нет, но в ревизских сказках XIX века она встречается среди государственных крестьян и мещан.

Итог: фамилия Куак, скорее всего, несёт в себе древнее пожелание счастья, а не то, что приходит на ум первым. Её носители — потомки людей, которых в тюркской среде называли «счастливчиками».