Фамилия Куверская — редкий пример «географического» суффикса -ск-, который в русском языке чаще указывает на связь с местностью, чем на происхождение от прозвища. Такие фамилии обычно получали дворяне по названию своих поместий, а также выходцы из духовенства — по названию сёл или городов, где служили. В случае Куверской основа почти наверняка топонимическая: река Куверка (есть в Нижегородской области) или населённые пункты Кувербаш, Куверкино, Куверское. Если предок носил фамилию Куверский — он либо владел землёй с таким названием, либо родился в селе, от которого и пошла фамилия.

Менее вероятна, но возможна связь с прозвищем Кувера. В диалектах русского языка «кувера», «куверза» — неловкий, неуклюжий человек, а также закутанный, скрытный. Но фамильный суффикс -ск- для прозвищных основ нетипичен: обычно такую модель используют для «дворянских» и «семинарских» фамилий. Поэтому версия с географическим названием выглядит убедительнее.

Важно: фамилия Куверская — женская форма. Мужской вариант — Куверский. Оба варианта встречаются редко, что говорит о локальном происхождении: скорее всего, род пошёл из одного уезда или даже одного села. В современных справочниках русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не упоминается, что подтверждает её нечастотность.

По сословной принадлежности: если фамилия образована от названия поместья — предки могли быть дворянами, если от села — духовенством или однодворцами. Разобраться точнее помогли бы конкретные записи метрических книг или ревизских сказок, но без привязки к региону остаётся только гадать.