Фамилия Куверина в своей основе содержит прозвище или мирское имя Кувера. В русских говорах слово «кувера» или «куверя» имело несколько значений, но все они связаны с характером или поведением человека. Чаще всего так называли неуклюжего, неловкого человека, который всё делает не так, «кувырком». В некоторых диалектах «кувера» — это тот, кто ходит вразвалку, переваливается с ноги на ногу. Таким образом, фамилия образована по модели, типичной для северных и центральных областей России: основа на -а плюс суффикс принадлежности -ин, указывающий на родство — «чей?» — «сын Куверы».

Менее распространённая, но вполне логичная версия связывает корень с глаголом «кувыркать» или «кувыркаться». В этом случае прозвище Кувера мог получить подвижный, непоседливый ребёнок, который постоянно падал или кувыркался. Такие прозвища в крестьянской среде давали часто и беззлобно, по внешнему признаку или привычке, и они закреплялись за потомками как фамилии. Словарь русских фамилий В. А. Никонова фиксирует подобные модели, где основа из диалектного глагола или существительного переходит в фамилию через притяжательный суффикс.

Стоит отметить, что фамилия Куверина — женская форма, а мужская — Куверин. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Куве́рина, хотя в некоторых регионах может смещаться на последний. Географически фамилия не является массовой, но встречается в разных областях России, что говорит о самостоятельном возникновении в нескольких местах независимо друг от друга. Редкий суффикс -ерин в этой фамилии не используется: перед нами именно -ин, присоединённый к основе Кувер-. Это отличает её от фамилий на -ерин, образованных от профессий (например, шофёр — Шоферин). Здесь всё проще: Кувера — прозвище, и фамилия буквально означает «принадлежащий Кувере».

В дореволюционной России носители фамилии Куверин относились в основном к крестьянскому сословию или мещанам. Фамилия недворянская, в родословные книги не попала, но это не умаляет её ценности как живого свидетельства народной речи и быта.