Фамилия Куверкин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени с помощью суффикса -ин, который указывает на принадлежность («чей?» — Куверкин). Основа здесь — «Куверка». Что это могло быть?

Самое прямое объяснение лежит в диалектной лексике. В русских говорах (особенно в северных и уральских) «куверка» — это нечто маленькое, скрюченное, сморщенное, либо действие: кувыркаться, вертеться. Прозвище Куверка могли дать человеку маленького роста, непоседе или тому, кто имел привычку сутулиться. В этом ряду стоят однокоренные фамилии Кувыркин, Кувыков, Куверзнев.

Вторая версия — от названия птицы. В некоторых областях «куверкой» называли небольшую лесную птицу (возможно, кукушку или пеночку). Прозвища по птицам давали часто: Соловьёв, Воробьёв, Кукушкин. И Куверкин мог попасть в этот ряд.

Менее вероятно, но стоит упомянуть: в основе могло лежать крестильное имя. В старину существовало редкое каноническое имя Кувер (или Куверий), но его следы в русской ономастике почти не прослеживаются. Куда вероятнее, что фамилия пошла от мирского прозвища, а не от святцев.

Географически фамилия Куверкин встречается не повсеместно. Основной ареал — Поволжье и Урал (особенно Пермский край, Кировская, Нижегородская области). Это регионы, где активно бытовали северные и вятские говоры с их характерной лексикой. Если ваши предки родом оттуда, версия с «куверкой» как прозвищем маленького или вертлявого человека — самая надёжная.

Фамилия не аристократическая, не дворянская. Она из крестьянской или мещанской среды: прозвище давали в деревне, а фамилию закрепили за потомками уже при переписях. Носитель фамилии Куверкин с большой вероятностью происходит от человека, которого в округе знали по его внешности или характеру — невысокого, юркого, или, наоборот, скрюченного работой.