Фамилия Лаев (и её вариант Лаёв) — пример того, как одно и то же звучание может вести к разным, но одинаково логичным объяснениям. Разберёмся по порядку.

Самая прямая версия отталкивается от глагола «лаять». Прозвище Лай могли дать человеку с громким голосом, сварливому или тому, кто много и без повода «лаял» — бранился. Такие прозвища по поведению были распространены на Руси: Звон, Крик, Визг. Фамилия образовалась стандартным патронимическим суффиксом -ев: сын Лая — Лаев.

Вторая версия — не про голос, а про собак. В украинских диалектах слово «лай» означало не только лай, но и стаю, свору собак. Если человек держал много псов — для охоты, охраны или просто по хозяйству — его могли прозвать Лаем. Со временем это прозвище также закрепилось за потомками.

Особый интерес представляет версия для фамилии Лаёв. Здесь основа уходит в белорусское слово «лаёвы» — «сальный». Оно восходит к общеславянскому «лой»: так называли топлёный жир рогатого скота, который шёл в пищу и на технические нужды. В старину из лоя делали сальные свечи — главный источник света в крестьянской избе. Поэтому Лаёвым могли прозвать либо повара, любившего готовить на сале, либо человека, который эти свечи изготовлял. Такое «профессиональное» прозвище — один из самых частых источников фамилий, и эта гипотеза выглядит не менее правдоподобной, чем «собачья» или «бранчливая».

Итог прост: фамилия Лаев/Лаёв могла возникнуть в разных местах и по разным причинам. В одном случае предок был крикливым или держал свору собак, в другом — работал с салом и свечами. Какая из версий верна для конкретной семьи, можно попробовать выяснить по местным говорам и истории рода.