Фамилия Лапошкин — один из тех случаев, когда корень на поверхности, но значение неочевидно. Если отталкиваться от самого простого, «лапушка» или «лапочка» — это ласковое обращение, уменьшительное от «лапа». Казалось бы, фамилия должна значить «чей-то любимец», «тот, кого называли лапушкой». Но тут есть нюанс: суффикс -к- в основе («Лапошк-») может указывать на то, что исходное прозвище звучало как Лапошок или Лапошка. А это уже другое слово.

Скорее всего, в основе лежит не «лапа», а «лапоть». Лапошок — это уменьшительное от «лапоть» (лапоть → лапоток → лапошок). Прозвище Лапошок могли дать человеку, который плёл лапти, или тому, кто носил их постоянно, или же просто невысокому, щуплому человеку — в насмешку. Переход «т» в «ш» перед суффиксом (лапот-ок → лапош-ок) для русского языка нормален и встречается во множестве фамилий (например, Лоскутов — от лоскут, хотя есть и Лоскутников).

Фамилия образована по стандартной модели: прозвище Лапошок → притяжательное прилагательное Лапошкин (чей? — сын Лапошка). Суффикс -ин указывает на принадлежность к роду конкретного человека. С точки зрения географии, фамилия редкая и не имеет ярко выраженного «гнезда» в одном регионе, как, например, типичные северные или южные фамилии. Она встречается рассеянно, что типично для прозвищ, связанных с ремеслом или бытом, а не с местностью.

Интересная деталь: если бы фамилия образовалась напрямую от «лапушка» (ласковое), форма была бы Лапушкин. Именно так — через «у». Лапошкин же — это «а» в корне, что закрепляет версию с лаптями. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные случаи (переход т/ш в уменьшительных формах от слов на -оть) разбираются как стандартные. Так что, если ваши предки были Лапошкиными, с высокой вероятностью они занимались плетением лаптей, либо просто получили прозвище за неказистую обувь.