Фамилия Лебедева — одна из тех, где ошибка в написании вводит в заблуждение. Правильная, историческая форма — Ле́бедева, через «д», а не через «б». Второе «б» в «Лебебева» — это опечатка или искажение, возникшее, скорее всего, из-за небрежного произношения или при заполнении документов на слух. В русском языке нет корня «лебеб-», тогда как «лебед-» (от «лебедь») — основа десятков фамилий.

Фамилия Лебедева образована по стандартной модели: от прозвища или мирского имени Лебедь. В древнерусской традиции давать детям имена по названиям птиц, зверей и растений было обычным делом. Лебедем могли назвать человека за белокурые волосы, плавную походку, стройную фигуру или, напротив, за высокий рост и белую кожу. Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: Лебедева — дочь или жена человека по прозвищу Лебедь.

Фамилия широко распространена по всей России, но особенно часто встречается в северных и центральных областях, где лебедь — привычная птица. В старину лебедей почитали как символ красоты и верности, поэтому прозвище не носило уничижительного оттенка. В отличие от многих «птичьих» фамилий (Воробьёв, Соколов), Лебедев чаще встречался не среди крестьян, а среди духовенства и купечества. Священники нередко меняли фамилию на «благозвучную» при поступлении в семинарию, и Лебедев был одним из популярных семинарских вариантов.

Если ваша фамилия записана как Лебебева, стоит проверить архивные документы или метрические книги: скорее всего, предки носили фамилию Лебедева, а ошибка в букве — результат случайности. В любом случае, корень у фамилии один — белая птица, которая дала прозвище предку.