Фамилия Леинш — редкая и необычная для русского слуха. Её происхождение почти наверняка нерусское, и география подсказывает, где искать корни: скорее всего, перед нами фамилия латышская или, реже, немецкая. Если разбирать её по модели, то бросается в глаза окончание -ш. В русской ономастике такой суффикс встречается в фамилиях на -их/-ых (типа Седых, Долгих), но здесь иная ситуация. В латышском языке фамилии нередко оканчиваются на -ш, и это не суффикс, а часть основы или показатель мужского рода. Леинш — это, вероятно, латышский вариант фамилии, которую в других местах писали бы как Лейн или Лейнинг.

Основа «Лейн-» восходит к немецкому слову Lehn — «лен», «феод» (земельное владение, данное за службу). В таком случае фамилия могла быть прозвищем человека, имевшего отношение к ленному владению: арендатора, управляющего или мелкого вассала. Вторая версия — от немецкого Leine («верёвка», «шнур») или Lien («клён»), но это менее вероятно, поскольку в прибалтийских фамилиях чаще встречается именно «ленное» значение, связанное с земельными отношениями в средневековой Прибалтике, где немецкое дворянство владело землёй на ленном праве.

Есть и третья, более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от личного имени Лейн — уменьшительной формы от Лейнхард или Лейнольд. В таком случае Леинш — это патроним: «сын Лейна». Латышские фамилии часто образовывались от имён отцов, и окончание -ш здесь играет роль, сходную с русским -ов/-ев.

Поскольку фамилия крайне редкая, её носители в России, скорее всего, потомки латышских переселенцев или остзейских немцев, обрусевших в XIX–XX веках. Встретить Леинша в исконно русских регионах маловероятно — это фамилия-маркер, указывающая на балтийское или немецкое происхождение предков.