Фамилия Ливчинская — относительно редкая, и её происхождение стоит искать не в одном корне, а в модели образования. Перед нами типичная «географическая» фамилия, созданная по схеме «название места + суффикс -ск-»: такую форму получали переселенцы, выходцы из определённого села или города. В основе, скорее всего, лежит топоним Ливчино или Ливчин — название деревни, которой, судя по всему, уже не существует в современных справочниках, либо она была поглощена более крупным населённым пунктом.

Суффикс -ск- в фамилиях такого типа (Ливчинская, Трубчевская, Можайская) указывает на дворянское или шляхетское происхождение в прошлом, но только в том случае, если фамилия закрепилась за родом до XIX века. Однако для крестьян и мещан, получивших фамилии после реформы 1861 года, такая форма могла быть просто указанием на место рождения или жительства. Поэтому сословная принадлежность Ливчинских могла быть разной — от однодворцев южных губерний до обедневших шляхтичей западных земель.

Корень «Ливч-» может отсылать к прозвищу или имени Ливка — уменьшительной форме от канонического имени Ливерий (редкое, но встречавшееся в святцах). В народной этимологии его могли связывать с глаголом «лить» или словом «ливень», но это вторичное осмысление. Гораздо вероятнее, что фамилия восходит к названию речки Ливна или к древнему балтскому корню, означающему «болотистая, сырая местность» — такое объяснение особенно правдоподобно для фамилий с суффиксом -ин-, перешедшим в -чин-.

С географической точки зрения, фамилия Ливчинская тяготеет к западу России — к бывшим землям Смоленщины, Брянщины, а также к Беларуси и Украине. Именно в этих регионах распространены топонимы с корнем «Лив-» (Ливны, Ливна, Ливчицы). Если ваши предки носили эту фамилию, стоит проверить метрические книги Черниговской, Могилёвской или Смоленской губерний — там вероятность найти ранние упоминания наиболее высока.