Фамилия Лийстов — редкий случай, когда в основе лежит не русское слово, а заимствованное имя или прозвище, прошедшее через народную переработку. Ключ к разгадке — в её звучании, которое для русского уха необычно: сочетание «ий» в начале слова почти всегда указывает на иноязычный корень, чаще всего финно-угорский или прибалтийский.

Скорее всего, фамилия образована от эстонского или финского имени Лийс (Liis), которое является сокращённой формой от Элизабет (Елизавета). В прибалтийско-финской среде такие имена были обычны, а при переходе в русскую среду к основе «Лийс» добавился русский суффикс -ов, превративший имя отца в фамилию сына. То есть Лийстов — буквально «сын Лийса» или «человек из рода Лийса». Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит прозвище от эстонского слова «liist» (шнурок, тесьма, ремешок) — такое могли дать сапожнику, кожевнику или торговцу галантереей.

Обратите внимание на написание фамилии. В дореволюционных метриках и документах она могла фиксироваться как Листов, Листова, а то и Лийстова — путаница с одной или двумя «с» и «и» встречалась часто. Это связано с тем, что русские писцы на слух передавали долгий эстонский гласный «ии» то как «ий», то как простой «и». Поэтому фамилии Листов и Лийстов — не одно и то же: у первой корень «лист» (документ или часть растения), у второй — иноязычное имя.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу: её носители встречались в Санкт-Петербургской губернии, Псковской области, а также среди сету (этнографической группы эстонцев, живших на границе с Псковщиной). В советское время, с миграцией населения, Лийстовы разъехались по стране, но до сих пор фамилия остаётся одной из самых редких в России.

Если ваши предки носили фамилию Лийстов, скорее всего, они происходили из крестьян-эстонцев или обрусевших прибалтийских немцев, перешедших в православие. Фамилия не дворянская и не купеческая — её носителями были простые люди, чаще всего лютеране или православные, принявшие крещение с русским именем, но сохранившие в фамилии память о своём «инородческом» корне.