Фамилия Ляпустин происходит от прозвища Ляпуста. Его основу связывают с диалектным глаголом «ляпкать» — «пустословить, говорить невнятно». Поэтому Ляпустой могли прозвать человека с плохой дикцией или, наоборот, болтуна. В некоторых говорах «ляпистым» называли бестолкового человека. Однако есть и другая версия, связанная с вятским словом «ляпустик» — «бантик на сарафане». В этом случае прозвище Ляпуста могло закрепиться за модником или щеголем, причём с ироническим оттенком.

Фамилия документирована уже в XVII веке. В 1678 году в переписных книгах упоминается житель деревни Тишкова Максимко Евдокимов сын Ляпустин. В тех же исторических документах встречаются Трофим Савельевич и Леонтий (Левка) Захарович Ляпустины из деревни Губина на реке Тагил. Позднее, в начале XX века, носители фамилии фиксируются в разных регионах: Агей Маркелович Ляпустин (1868 года рождения, село Гагарье Казанского района) и Александр Антонович Ляпустин (1875 года рождения, деревня Александровка Бирского района Башкирии).

Таким образом, фамилия Ляпустин — типичная русская фамилия на -ин, образованная от прозвища Ляпуста. В основе лежит либо характеристика речи («ляпкать»), либо внешности или поведения («ляпустик»). Оба варианта возможны, но первый — про диалектный глагол — встречается в источниках чаще и выглядит более правдоподобным для прозвища, которое давали по заметной черте человека.