Фамилия Любивой — одна из тех, что выбивается из привычного ряда на -ов/-ин, и это её главная особенность. Она образована не от отчества, а от прозвища или мирского имени через суффикс притяжательного прилагательного. Форма Любивой — это родительный или предложный падеж мужского рода (чей? — Любивого), но в русской народной традиции фамилии на -ой/-ый нередко застывали в этой форме, особенно на юге России и в украинских землях. Так что перед нами типичная «окающая» фамилия, где ударение падает на окончание: Любивóй.

Основа здесь — корень люб- и суффикс -ив-, который в древнерусском языке образовывал прилагательные со значением «обладающий качеством». Любивой — это «тот, кто любим» или «тот, кто способен любить». В старину Любим, Любимка, Любивой были нередкими нецерковными именами: родители могли назвать так долгожданного или горячо любимого ребёнка. Такое имя давали не в крещении, а в быту, и оно прекрасно уживалось с христианским. Позже из этого мирского имени и возникла фамилия.

Словообразовательная модель Любивой — редкая для восточнославянских фамилий. Обычно мы встречаем Любимов (от Любим) или Любов (от женского имени). А вот форма с флексией -ой и усечением конечного -м встречается реже. Она могла закрепиться в говорах, где активно использовали краткие прилагательные в роли прозвищ: например, «Иван Любивой» — то есть Иван Любимый. Со временем такое прозвание стало фамилией для его потомков.

Географически фамилия Любивой тяготеет к южнорусским областям — Курской, Воронежской, Ростовской, а также к украинскому Левобережью. Встречается она и в Беларуси, но реже. В XIX веке носители фамилии чаще всего были крестьянами или однодворцами — потомками служилых людей, которые несли сторожевую службу на южных рубежах. В дворянских родословных эта фамилия не фиксируется, что указывает на её простонародное происхождение.

Интересно, что фамилия Любивой могла возникнуть и как прозвище человека с мягким, любящим характером. В этом случае она не столько указывала на отношение к нему окружающих, сколько описывала его внутреннее свойство. В ономастике такое встречается: прозвище давали не за внешность или занятие, а за душевное качество — и оно закреплялось в роду. Так что предки современных Любивых могли быть не только «любимыми», но и «любящими» людьми.