Фамилия Люляй — одна из тех, что ставит исследователя перед выбором: либо перед нами редкое прозвище, либо искажённое написание более распространённой фамилии. Скорее всего, в её основе лежит неканоническое имя или прозвище Люляй, которое могло образоваться от глагола «люлять» — в некоторых русских говорах это слово означало «качать, колебать, шатать». Прозвище Люляй давали человеку с характерной походкой вразвалку или тому, кто любил покачиваться, например, сидя на лошади или на работе. Есть и другая версия: в диалектах «люля» — это колыбель, люлька, и прозвище могло относиться к младенцу, которого часто укачивали, или, напротив, к взрослому, который «качался» в переносном смысле — был нерешительным, колеблющимся.

Словообразовательная модель фамилии проста и прозрачна: суффикс -ай образует прозвища от глагольных основ (ср. Болтай, Шугай, Ломай). Окончание нулевое, фамилия склоняется как существительное мужского рода. В русской ономастике такие фамилии встречаются нечасто, и Люляй стоит в ряду «глагольных» фамилий, которые фиксировались преимущественно в северных и центральных губерниях. Б. Унбегаун в своём труде «Русские фамилии» относит подобные образования к числу прозвищных, указывая, что они могли закрепляться за одним человеком и не переходить на потомков, если не было официальной записи.

Географически фамилия Люляй — большая редкость. По данным современных баз, она встречается единично в России и на Украине, что говорит о её локальном происхождении: вероятно, один род в конкретном селе или деревне дал начало всем носителям. Возможно, предок получил прозвище за манеру ходить или за привычку «люлять» — качать что-то (например, люльку с ребёнком). Не исключено, что фамилия могла возникнуть из искажения при переписи: например, от фамилии Люлин или Люлькин, где конечное -ин отпало или было записано на слух как -ай.

Социальный статус предков-носителей фамилии Люляй, скорее всего, был крестьянским или мещанским. Фамилии на -ай без патронимического суффикса редко встречались у дворян и духовенства — они типичны для простонародной среды, где прозвища фиксировались в документах без изменений. Если вы носите фамилию Люляй, то ваши предки, вероятно, жили в небольшом регионе, где это прозвище было настолько узнаваемым, что заменило родовое имя.