Фамилия Мадай — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет привычного русского суффикса -ов, -ев или -ин, что сразу выдаёт в ней либо позднее заимствование, либо нестандартную модель образования.

Скорее всего, основа фамилии — прозвище Мадай. В русских говорах у слова «мада» было несколько значений: так могли называть медлительного, вялого человека, а в некоторых диалектах — того, кто любит привередничать, «мается» с едой или делом. Глагол «мадать» в ряде областей означал «мешкать, копаться». То есть первый носитель прозвища мог получить его за неспешный нрав или за капризность.

Есть и другая, менее очевидная версия. Фамилия Мадай может быть тюркской по происхождению, особенно если её носители живут в Поволжье или на Южном Урале. У башкир, татар и казахов известно мужское имя Мадай, которое восходит к арабскому «мада» — «протяжённость, длительность». В этом случае фамилия образована напрямую от имени без добавочного суффикса, что характерно для тюркской ономастики.

Фамилия не попала в массовые списки дворянских или купеческих родов. Она осталась в крестьянской и мещанской среде. Встречается она точечно: единичные записи есть в документах по Оренбургской губернии и в казачьих станицах Дона. Если ваши предки носили фамилию Мадай, стоит проверить метрические книги этих регионов — скорее всего, корни уйдут именно туда.