Фамилия Максичка образована от личного имени Максичка — уменьшительной или обиходной формы крестильного имени Максим. Само имя Максим пришло в русский язык из древнегреческого, где maximos означало «величайший», «огромный». В народной среде имя быстро обросло множеством производных форм: Максимка, Максиша, Максюта, а также Максичка. Именно эта последняя форма и легла в основу фамилии.

Словообразовательная модель здесь необычна: суффикс -чк- встречается в русских фамилиях редко. Обычно он характерен для украинской или белорусской традиции, где уменьшительные формы на -чка (Ивась → Ивасько → Ивасьчка, Максим → Максичка) становились фамилиями напрямую, без дополнительного патронимического суффикса. Поэтому фамилия Максичка, скорее всего, имеет западнорусские или малороссийские корни. В великорусской традиции на такой основе возникла бы фамилия Максичкин — с суффиксом -ин, указывающим на принадлежность «сыну Максички».

В украинских и белорусских говорах имя Максичка могло быть как ласковым обращением к ребёнку, так и прозвищем взрослого человека, у которого сохранилось уменьшительное имя. Поскольку фамилия закрепилась без добавочного суффикса, она относится к так называемым «полуфамилиям» или «фамилиям-прозвищам» — одной из древнейших моделей, когда человека называли так, как его привыкли звать в быту.

Сословная принадлежность первых носителей фамилии, скорее всего, была крестьянской или казачьей. В реестрах Войска Запорожского и переписях Левобережной Украины XVII–XVIII веков встречаются похожие образования: Максименко, Максимович, но форма Максичка фиксируется реже, что делает фамилию относительно редкой. Географически она тяготеет к Черниговщине, Полтавщине и югу Беларуси.

Однокоренные фамилии — Максимов (самая распространённая), Максимкин, Максимушкин, Максич, Максюта. От всех них Максичка отличается именно формантом -чка, который указывает на украинскую или белорусскую среду бытования. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из семьи, где имя Максим было родовым, а уменьшительная форма закрепилась в качестве уличного прозвища ещё в XVI–XVII веках.