Фамилия Мельчикова — женская форма фамилии Мельчиков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Мельчик. В русской ономастике суффикс -ик часто указывал на уменьшительно-ласкательную форму или на принадлежность к чему-то через профессию. В данном случае основа почти наверняка связана со словом «мельник» — человеком, который работал на мельнице, молол зерно. Фамилии на -ик (Мельник → Мельниченко, Мельников) широко распространены, но форма Мельчиков встречается реже и звучит более архаично: это могло быть прозвище сына мельника («мельчиков сын») или же самого работника, которого в быту называли уменьшительно Мельчик.

Словообразовательная модель с суффиксом -чик/-ик здесь необычна: обычно от «мельник» образуют Мельников, а Мельчиков — это либо диалектный вариант, где «мельник» превратилось в «мельчик» под влиянием местного говора (например, в северных и сибирских говорах часто «ч» вместо «к»), либо прозвище, данное человеку маленького роста или юному подмастерью мельника. Вторая версия правдоподобнее: в старину «мельчик» могло означать «маленький мельник» или «мельников сын», а фамилия закрепилась за его потомками.

Географически фамилия Мельчикова тяготеет к регионам Русского Севера и Урала, где были развиты водяные и ветряные мельницы, а диалекты сохраняли архаичные формы. Встречается она и в центральных областях, но реже. Сословного барьера у фамилии не было: мельники могли быть как крестьянами, так и посадскими людьми, а иногда и зажиточными ремесленниками. В писцовых книгах XVII века подобные прозвища фиксировались, но именно Мельчиковы в документах того времени почти не упоминаются — фамилия, скорее всего, сформировалась позже, в XVIII–XIX веках, когда крестьянам начали массово давать фамилии по прозвищам отцов.

Однокоренные фамилии — Мельников, Мельниченко, Мельничук — куда более частотны, но Мельчиков выделяется на их фоне именно уменьшительным суффиксом. Если ваш предок носил фамилию Мельчиков, он, вероятно, происходил из семьи, где мужчин называли не по ремеслу («мельник»), а по домашнему, ласковому прозвищу — Мельчик. Это придаёт фамилии оттенок личной, семейной истории, а не просто профессиональной записи.