Фамилия Мелишев — это типичный пример русской фамилии, образованной от краткой формы крестильного имени. В её основе лежит мужское имя Мелентий, которое в переводе с греческого означает «заботник, хлопотун». От полной формы имени в народной среде образовалась уменьшительная или обиходная форма Мелиш, а уже от неё, по стандартной модели, появилась фамилия Мелишев. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Мелишев — это сын Мелиша, потомок человека, которого в быту звали именно так.

Покровителем имени считается святой Мелентий, архиепископ Антиохский, живший в IV веке. Он известен тем, что защищал православную веру от еретиков, за что трижды был заключён в темницу. С днём его памяти, 25 февраля по старому стилю, у славян были связаны любопытные хозяйственные обычаи. В течение трёх дней после этого праздника крестьяне выставляли на утренний мороз зерно, предназначенное для посева. Считалось, что тронутые морозом семена дают лучший всход и урожай. Туда же, на мороз, выносили лён и пряжу — верили, что после такой обработки нитки и мотки получатся чистыми, белыми и ровными.

Существует и другая версия происхождения фамилии, но она менее правдоподобна. Согласно ей, прозвище Мелиш восходит к глаголу «молоть», и тогда его давали мельнику, то есть человеку, чья профессия была связана с помолом зерна. Однако такое объяснение выглядит натянутым: форма Мелиш гораздо естественнее читается как сокращение от Мелентий, чем как производное от «молоть». К тому же, в русской ономастике переход полного крестильного имени в краткую форму с последующим образованием фамилии — явление массовое и хорошо изученное. Поэтому версия с именем Мелентий остаётся основной.