Фамилия Мелишева — это женская форма, а её основа — мужское прозвище или имя Мелиш. За этим коротким словом стоит, скорее всего, каноническое имя Мелентий. В переводе с греческого оно означает «заботник, хлопотун», что уже рисует характер человека: хозяйственный, беспокойный, всё держащий в руках. От полного имени образовали уменьшительную форму Мелиш, а уже от неё — фамилию по стандартной для русского языка модели: Мелиш + суффикс -ев + окончание -а.

Покровителем имени считают Святого Мелентия, архиепископа Антиохийского. Он жил в IV веке и защищал православную веру от еретиков, за что трижды попадал в заточение. С его днём памяти, который приходится на 25 февраля, у славян была связана любопытная хозяйственная примета. Начиная с этого дня, три утра подряд на мороз выставляли зерно, предназначенное для посева: считалось, что тронутые стужей семена дают лучший всход. Туда же, на холод, выносили лён и пряжу, веря, что нитки после этого станут белее, чище и ровнее. Так что имя, лёгшее в основу фамилии, в народном сознании оказалось прочно связано с заботой о будущем урожае и достатке.

Существует и вторая версия, но она заметно слабее. По ней, прозвище Мелиш происходит от глагола «молоть», и тогда оно указывает на род занятий — так могли называть мельника. Гипотеза соблазнительная, потому что даёт «профессиональное» прочтение фамилии, но лингвистически она уязвима: от «молоть» естественнее ждать форм вроде Молош или Мелник, а не Мелиш. Куда правдоподобнее выглядит связь с личным именем, тем более что форма Мелиш органично ложится в ряд уменьшительных имён той эпохи.

Итог простой: предки носительниц фамилии Мелишева, по всей видимости, носили имя Мелентий, а в быту их звали Мелишем. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Мелишева буквально значит «дочь или жена Мелиша». Это типичная русская модель образования фамилий от кратких народных форм крестильных имён, которая закрепилась в основном в крестьянской и мещанской среде.