Фамилия Мелиш звучит нехарактерно для русской среды, и это первое, что бросается в глаза. В ней нет типичных восточнославянских суффиксов -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, пришедшая из другого языка и адаптированная русским ухом. Самый вероятный источник — румынский или молдавский язык, где слово «meliș» означает «медовый» или «сладкий как мёд». В таком случае фамилия могла быть прозвищем человека с мягким, приятным характером или, что тоже возможно, пасечника, торговавшего мёдом.

Менее распространённая, но тоже возможная версия — связь с немецкой фамилией Melisch, которая восходит к древневерхненемецкому «māli» (пятно, знак). В средневековой Германии так могли прозвать человека с родимым пятном или шрамом. Однако в пользу румынского происхождения говорит география: фамилия Мелиш чаще всего встречается в Молдавии, на юго-западе Украины (Одесская, Черновицкая области) и среди молдавских диаспор в России. В центральной России или Сибири она редка.

Обратите внимание на суффикс отсутствует — фамилия осталась в чистой основе, без приращения. Это типично для фамилий, которые вошли в русский обиход из других языков уже в готовой форме и не подверглись переоформлению. Если ваш предок носил фамилию Мелиш, с большой вероятностью он жил в Бессарабии (историческая область на стыке Молдавии и Украины) и мог быть либо крестьянином, либо мелким торговцем — профессия, связанная с пчеловодством, в тех краях была распространена.

Встречается и вариант с ударением на первый слог — Мéлиш, но чаще говорят Мели́ш. В дореволюционных метрических книгах фамилию могли записывать через «ѣ» — Мѣлиш, что не меняет сути, но может помочь при поиске в архивах.