Фамилия Мельнмков — редкий случай, когда ошибка в написании (опечатка, замена «и» на «н» в середине) почти не искажает этимологию. Если убрать опечатку, перед нами типичная профессиональная фамилия Мельников, образованная по самой частотной русской модели: основа «мельник» (тот, кто работает на мельнице, владелец или работник) плюс патронимический суффикс -ов. Буквально: «сын мельника» или «принадлежащий мельнику».

В русской ономастике фамилии на -ов/-ев от названий ремёсел — один из самых распространённых типов. По подсчётам Б. Унбегауна, Мельников входит в первую сотню самых частых русских фамилий. Но в вариации Мельнмков интересна не столько основа, сколько то, как написание может рассказать о бытовании фамилии в конкретной семье. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках нередки случаи, когда писарь на слух записывал фамилию с искажением — особенно в глухих деревнях, где грамотность была низкой. «Мельнмков» могло возникнуть из-за неверного прочтения скорописи: в некоторых почерках буквы «и» и «н» почти неразличимы.

С географической точки зрения, фамилия Мельников (и её варианты) распространена по всей России, но с заметным сгущением в центральных и северных губерниях — там, где было много водяных и ветряных мельниц. В XIX веке мельник был фигурой заметной: он не только молол зерно, но часто выполнял роль местного ростовщика или торговца, поэтому прозвище могло перейти в фамилию даже у зажиточных крестьян.

Корень «мел-» (от «молоть») общеславянский, и однокоренные фамилии есть у всех славянских народов: польский Młynarski, украинский Млинченко, белорусский Мельнікаў. Но русский вариант Мельников выделяется тем, что в основе лежит не просто название профессии, а конкретное лицо — мельник, а не мельница (сравните с фамилией Мельничный, которая встречается реже и образована от прилагательного).

Если ваш предок носил фамилию именно в таком написании — Мельнмков — это не ошибка, а документированная особенность. В современных базах данных (например, в списках участников ВОВ) встречаются единичные носители с такой записью. Это не отдельная фамилия, а орфографический вариант, который стоит рассматривать в одном гнезде с Мельниковым.