Фамилия Мещяриков — редкий случай, когда написание напрямую указывает на возможную ошибку или, наоборот, намеренное искажение. В русском языке после шипящих и «ц» под ударением пишется «о», а не «ё» или «я»: «мещёрский», «мещеряк». Поэтому форма «Мещяриков» не соответствует орфографической норме. Скорее всего, это не фамилия в её академическом варианте, а либо народное произношение, закреплённое в документах, либо поздняя замена «ё» на «я» по аналогии с другими фамилиями (например, «Смирнов» — «Смирняков»). В любом случае, корень здесь — «мещер/мещёр».

Основа фамилии — прозвище Мещеряк (или Мещаряк в диалектном произношении). В XVI–XVII веках так называли выходцев из исторической области Мещёра, расположенной на стыке современных Рязанской, Владимирской и Нижегородской земель. Мещеряками также именовали особую этнографическую группу татар (мишарей), но в русской среде прозвище чаще относилось к переселенцам из Мещёрского края. Фамилия образована по типичной русской модели: прозвище на -як (Мещеряк) → притяжательное прилагательное с суффиксом -ов (Мещеряков) → закрепление в форме фамилии. Суффикс -як в прозвищах часто указывал на человека по месту жительства (ср.: поляк, сибиряк, туляк).

Обратите внимание на двойной суффикс -ик-ов. Он встречается реже, чем просто -ов, и обычно возникает, если основа прозвища оканчивалась на -ик: Мещярик → Мещяриков. Это могла быть уменьшительная или пренебрежительная форма от «мещеряк» (ср.: «дурак — дурачок», но здесь «мещеряк — мещярик»). Либо же написание «Мещяриков» — это просто искажение при переписи, когда писарь на слух записал «Мещеряков» как «Мещяриков», добавив лишнее «и».

Географически фамилия с таким написанием почти не встречается в официальных справочниках — её нет в массовых списках XIX века. Если она существует, то, вероятно, как локальный вариант в тех же рязанских или владимирских деревнях, где жили мещеряки. В академических словарях (например, у Б. Унбегауна) разбирается только форма «Мещеряков». Таким образом, «Мещяриков» — это либо уникальная диалектная запись, либо ошибка, закрепившаяся в одном роду.