Фамилия Мевшая — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от большинства русских фамилий на -ов, -ев или -ин, она заканчивается на -ая, что сразу выдаёт её принадлежность к иной, более южной и западной словообразовательной модели. Чаще всего такие фамилии характерны для украинской, белорусской или польской традиции, где прилагательное в женском роде могло закрепиться как фамилия без изменения по родам (например, Шевчук — Шевчукова, но и просто Шевчуковая). Однако в случае с «Мевшая» мы имеем дело не с суффиксальным образованием, а с полным прилагательным.

Корень «мевш-» — тёмный. В русском языке нет общеупотребительного слова «мевша» или «мевший». Можно предположить, что основа восходит к диалектному прозвищу. В некоторых южнорусских и украинских говорах «мевша» могло означать «медлительный человек», «копуша» (от глагола «мешкать» — мешкать, медлить). В таком случае фамилия образована от прозвища Мевший (или Мевшая) — «тот, кто мешкает, тянет время». Форма на -ая здесь выступает как субстантивированное прилагательное: Мевшая — это буквально «(женщина) мешкающая», но в качестве фамилии она закрепилась за родом, а не за полом конкретного человека.

Версия с украинским или белорусским происхождением выглядит правдоподобнее. В украинском языке есть слово «мевша» — «медлительная, нерасторопная женщина». Фамилии, образованные от таких бытовых прозвищ, нередки: Мешков, Мешковский, Мешко. Но Мевшая стоит особняком — она сохранила окончание именительного падежа женского рода, что типично для фамилий-прилагательных в западноукраинских и польских землях (сравните: Бандера, Ковальская, Грушевская). Однако в отличие от патронимических фамилий на -ская, здесь нет суффикса принадлежности — это чистое прозвище в форме прилагательного.

Географически фамилия Мевшая встречается крайне редко. В современных базах данных она фиксируется в основном на юге России и в восточных областях Украины, что подтверждает связь с диалектной лексикой. Возможно, первоначально это было уличное прозвище, которое в XIX веке записали как фамилию при переписи — из-за неграмотности писаря или местной особенности произношения. Альтернативная, но менее вероятная гипотеза: искажение фамилии Мевша (от личного имени Мевша, которое могло быть вариантом библейского Мефусаил или тюркского Мавшар). Но такая версия не подкреплена источниками.

Итак, наиболее вероятно, что фамилия Мевшая — это прозвищное образование от диалектного «мевша» (медлительный человек), закрепившееся в форме прилагательного женского рода. Предки носителя этой фамилии, скорее всего, жили на южнорусских или украинских землях и получили своё родовое имя по характерной черте характера — неторопливости или медлительности.