Фамилия Минигалина — женская форма, а её мужской вариант — Минигалин. Разбирать её стоит с мужской основы, как это принято в русской ономастике. В основе лежит тюркское мужское имя Минигали, которое распространено у башкир и татар. Имя это составное: первая часть «мини» восходит к арабскому «мин» — «из, от», а вторая — «гали» (от али) — «высокий, возвышенный, великий». В целом имя Минигали можно перевести как «из числа великих» или «принадлежащий к возвышенным». Это теофорное имя, то есть связанное с религиозным понятием величия, нередко его давали в честь халифа Али.

Суффикс -ин указывает на типичную русскую модель образования фамилий от основ на -а, -я. В данном случае он присоединился к тюркскому имени Минигаля (в родительном падеже — Минигали). Такую фамилию получали дети или потомки человека по имени Минигали: буквально «чей?» — Минигалин, то есть «сын Минигали». Это одна из самых распространённых моделей в русском языке, но в сочетании с нерусской основой она даёт понять, что предок носителя фамилии был крещён или жил в среде, где русская фамильная модель накладывалась на тюркское имя.

Географически фамилия Минигалина чаще всего встречается в Башкортостане, Татарстане, а также в Оренбургской и Челябинской областях. Это регионы, где исторически жили башкиры и татары, и где фамилии на -ин от тюркских имён — обычное дело. В дореволюционной России такие фамилии могли получить как представители мусульманского духовенства, так и простые крестьяне или казаки, принявшие православие.

Стоит отметить, что в редких случаях первый элемент «мини» могли путать с русским «мне» или «минуя», но это народная этимология, не имеющая под собой исторической основы. Лингвистически надёжнее связывать фамилию именно с арабо-тюркским именем, а не с русскими корнями. Если ваши предки носили фамилию Минигалин, скорее всего, они происходят из среды волго-уральских татар или башкир, а их родоначальник носил имя Минигали.