Фамилия Минка — редкий случай, когда разбор начинается не с корня, а с суффикса. По фамильной модели это типичная «полякская» или западнорусская фамилия на -ка. В русской ономастике суффикс -ка в фамилиях чаще встречается у украинцев, белорусов и поляков (сравните: Шинка, Сычовка, Шульга). Для великорусских земель такая форма нетипична: там преобладают патронимы на -ов/-ев и -ин. Поэтому, скорее всего, предки носителя фамилии Минка жили на территории современной Беларуси, Украины или в западных областях России.

Сама основа — Мин- — может восходить к нескольким источникам. Самое очевидное: это краткая форма от канонического имени Мина (греч. Μηνάς, от названия месяца). Имя Мина было распространено в святцах, его производные — Минька, Миня, Минка — давали в крестьянской среде. Вторая версия: прозвище от диалектного глагола «минать» (мять, месить, топтать). В южнорусских говорах «минка» — это не только имя, но и действие: «минка теста» или «минка глины». Так могли прозвать человека, который работал с тестом (пекарь) или с глиной (гончар). Третья, менее вероятная, версия: от названия реки Минка (приток Днепра) — тогда фамилия топонимическая, указывающая на выходца с берегов этой реки.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить географию. Фамилии Минкин, Минин, Минаев — это русские патронимы от того же имени Мина. Но Минка стоит особняком: она короче, грубее, архаичнее. В польских метриках XVI–XVII веков встречается форма Minka как уменьшительное от имени Mikołaj (Николай). Если предки были католиками, фамилия могла закрепиться именно в таком виде.

Сословная принадлежность предков Минка — почти наверняка крестьяне или мещане. Дворянские фамилии на -ка в этой части Европы редки, а у крестьян прозвищные и уменьшительные формы держались веками. В переписях и ревизских сказках XIX века фамилия Минка фиксируется в Могилёвской, Витебской и Гродненской губерниях. Сегодня её можно встретить в Беларуси, на западе Украины и в Польше, а в России — преимущественно в Брянской и Смоленской областях.

Итог: фамилия Минка — западнорусская или белорусская, образованная от уменьшительной формы имени Мина или от прозвища по занятию (пекарь, гончар). Суффикс -ка не даёт ей стать «обычной русской фамилией», а указывает на вполне конкретный регион и социальную среду.