Фамилия Могачев — одна из тех, где основа неочевидна, а суффикс указывает на конкретную модель образования. Разберёмся по порядку.

Фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев, который присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа — Могач. Суффикс -ев (а не -ов) подсказывает, что в исходном прозвище или имени конечный звук был мягким или шипящим: Могач, а не Могак.

Корень слова — мог-. В русских говорах и в древнерусском языке глагол «могать» означал «мочь», «быть в силах», «справляться». Отсюда «мога» — сила, мощь, возможность. Прозвище Могач могли дать человеку сильному, способному, удачливому в делах, тому, кто «могёт» — может многое. В некоторых диалектах «могач» — это ещё и зажиточный, состоятельный крестьянин, у которого «мога» (достаток) водится. То есть прозвище могло указывать не на физическую силу, а на хозяйственную хватку и благосостояние.

Версия о тюркском происхождении (от тюркского «мог» — сила, могущество) тоже имеет право на существование, особенно с учётом того, что фамилия встречается в Поволжье и на Урале, в зоне активных русско-тюркских контактов. Однако русская словообразовательная модель (суффикс -ев) и наличие однокоренных русских фамилий (Могаев, Могин, Мога) делают версию славянского прозвища более вероятной и простой.

Фамилия Могачев — нечастая, но и не редкая. Встречается в центральных областях России, на Дону и в Сибири, куда переселенцы принесли прозвище. Социальный состав предков — скорее всего, крестьяне или посадские люди, получившие фамилию по прозвищу отца (Могач → Могачев сын → Могачев). Дворянских родов с такой фамилией в официальных родословных книгах не зафиксировано, что тоже косвенно подтверждает её крестьянское происхождение.

Итог простой: фамилия Могачев произошла от прозвища Могач, которое давали человеку сильному, удачливому или зажиточному. Никаких сложных заимствований и загадок — живая русская фамилия, рассказывающая о качестве своего первого носителя.