Фамилия Молюга звучит непривычно для современного уха, но её происхождение укладывается в несколько прозрачных моделей русской ономастики. В основе почти наверняка лежит прозвище или мирское имя, образованное от глагола «молоть» или родственных слов. Самый прямой путь — прозвище Молюга для человека, который много и быстро говорил, «молол языком», то есть был болтливым. В говорах «молюга» могло означать и трудягу, того, кто постоянно «мелет» зерно, то есть занят тяжёлой однообразной работой. Вторая версия, более редкая, — связь с диалектным «молюга» (маленькая рыбка, моль), но она менее убедительна, так как прозвища по мелкой рыбе обычно давали по внешнему сходству, а не по глагольному корню.

Фамилия образована по продуктивной модели: основа «Молюг-» плюс суффикс -а, который в русских фамилиях чаще всего указывает на украинское или белорусское происхождение. В украинском языке суффикс -уга/-юга придаёт слову оттенок увеличительности или пренебрежения, как в «злюга» или «хитрюга». То есть Молюга — не просто «молющий», а «тот, кто мелет особенно много или назойливо». Это типичная фамилия-прозвище, закреплённая без дополнительного патронимического суффикса, что характерно для юго-западных регионов Российской империи.

Географически фамилия встречается в основном на Украине и в прилегающих областях России — в Черниговской, Сумской, Брянской землях. Встречается и в Беларуси, но реже. Среди однокоренных фамилий — Молот, Молотков, Молчан, но Молюга стоит особняком из-за редкого суффикса. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был крестьянином или ремесленником, получившим прозвище за характерную черту — либо за неуёмную говорливость, либо за усердие в работе, которую в народе называли «молотьбой».