Фамилия Мягченкова образована от прозвища Мягкий, которое на Руси встречалось довольно часто. Скорее всего, оно указывало либо на особенности внешности (полноту), либо на особенности характера (добродушие, щедрость) предка. Одно из первых документальных упоминаний прозвища относится к началу XVII века: у С. Б. Веселовского записан Мягкий Яков Андреевич Вельяминов, воевода в Новгороде в 1606 году.

Разбираем словообразовательную цепочку. Основа — прозвище Мягкий. От него образовали фамилию Мягченко: суффикс -енко типичен для украинской модели именования, где он прибавлялся к основе прозвища или имени и означал «сын, потомок такого-то». То есть Мягченко — буквально «сын Мягкого». Затем, когда род оказался в великорусских землях, фамилию русифицировали: добавили типичный русский суффикс -ов, получив форму Мягченков. Женский вариант Мягченкова — стандартное образование от мужской формы.

Здесь любопытна двойная суффиксация: -енко и -ов в одной фамилии. Такой гибрид встречается нечасто и обычно маркирует семью, которая перебралась с украинских или южнорусских территорий севернее, где местное население адаптировало фамилию под привычное уху окончание. Впрочем, возможен и другой путь: прозвище Мягкий могло самостоятельно, без промежуточной формы Мягченко, получить суффикс -енко уже на русской почве, но это менее вероятно, поскольку для северных говоров типичнее -ов или -ин.

Значение прозвища стоит понимать шире, чем просто «нежёсткий». В диалектах слово «мягкий» могли применить к человеку уступчивому, покладистому, незлобивому — и это, пожалуй, самая правдоподобная версия. Указание на полноту тоже имеет право на жизнь, но в прозвищах характер ценили чаще, чем внешность.

Отдельно отметим, что фамилия Мягченков — редкая. В отличие от массовых Ивановых или Смирновых, она сохраняет след конкретного прозвища и регионального перехода. Если ваш предок носил её, он, скорее всего, происходил из среды, где украинская ономастическая традиция смешивалась с русской, — например, из пограничных уездов или переселенцев, осевших в центральной России. Точной географии бытования фамилии в открытых источниках нет, но по модели образования и суффиксальному ряду она тяготеет к юго-западному ареалу.