Фамилия Мягина, скорее всего, образована от прозвища или имени Мяга. Основа здесь — не очевидная, но довольно прозрачная для историка языка. Слово «мяга» в русских говорах означало нечто мягкое, рыхлое, податливое — например, мякиш хлеба, болотистую почву или даже вялого, нерешительного человека. В северных и сибирских диалектах «мягой» называли также мочку уха или мягкую часть чего-либо. Так что прозвище могло относиться к характеру: медлительный, добродушный, уступчивый человек, которого не «продавишь» грубостью, а скорее «обомнёшь» уговорами.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Мягин — сын Мяги, то есть потомок человека с таким прозвищем. Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а, -я. В отличие, скажем, от фамилий на -ов, которые чаще шли от основ на твёрдый согласный. Интересно, что корень «мяг-» родствен слову «мягкий», но в фамилии он даёт именно звук [г], а не [к] — это диалектная черта, характерная для новгородских и псковских земель, где «г» произносили взрывно, а не фрикативно.

Вторая возможная версия — связь с географическим названием. В Эстонии есть город Мяги (Mägi), что по-эстонски значит «гора». Если предки носили фамилию Мягин, они могли быть выходцами из Прибалтики, где фамилии на -ин образовывались от местных основ. Однако для русской фамилии это менее вероятно: эстонское mägi скорее дало бы форму Мяги (без суффикса) или Мягов, а не Мягин. Поэтому версия с прозвищем выглядит убедительнее.

Сословно фамилия Мягина не маркирована — это крестьянская или мещанская фамилия, без дворянских корней. Встречается она редко, преимущественно в центральных и северо-западных областях России. Встретить её можно, например, в архивных записях по Новгородской губернии, где диалектная лексика особенно богата. Носители фамилии, если верить статистике, чаще всего живут в Ленинградской и Псковской областях, что косвенно подтверждает северное происхождение.

Коротко: корень — от диалектного «мяга» (мягкий, податливый человек или предмет), суффикс — притяжательный -ин, модель — типичная для русских прозвищных фамилий. Никаких загадок, но есть живая связь с народной речью.